Hallo Matthijs,

Het probleem is gelijktijdig opgelost door twee anderen, zie

http://www.inf.fu-berlin.de/inst/ag-ti/publications/rote.en.html#AREA01

Optimal logistics for expeditions-the jeep problem with complete refilling.

_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._


Je hebt de formule voor de kameel geinverteerd, iets waar ik me nog niet aan 
had gewaagd.

Ik denk dat  

a(n) := ceil((3-sqrt(3))*4^(n-2)+1)

een betere formule is dan Ceiling((3-sqrt(3))*4^(n-3))+1, maar dat is alleen 
een indexverschuiving. Toch ben ik nog niet zeker van deze formule. De waarden 
voor n=1 en n=2 zijn fout, maar dat zijn kleine uitzonderingsgevallen. De 
waarde voor n=3 is 7 maar moet 6 zijn. Dit zie ik niet als een 
uitzonderingsgeval. Je formule inverteert namelijk mijn formule voor een 
oneven aantal bananen. Voor een even aantal bananen kan de kameel net iets 
verder komen, vandaar de term ((n-1) mod 2)/6/m^2. Dit is precies genoeg om 
met 6 bananen de volgende hele mijl te halen (2 95/96 + 1/96 = 3). Ik vraag me 
af of dat voor grotere n ook niet optreedt. Als je kunt bewijzen dat dat niet 
zo is, ben ik gelukkig.
Een andere oplossing is de expressie

b(n) := ceil((3-sqrt(3))*4^(n-2-1/16^(n-3/2))+1) 

te gebruiken. Deze komt neer op eerst 1/4/m^2 van de afstand af te trekken en 
dan a(n) toepassen (m is de grootste tweemacht <= a(n), zie ook mijn artikel). 
Waarom werkt dit. Omdat 1/4/m^2 > 1/6/m^2, geeft b(n) zeker niet meer bananen 
dan nodig is. Laat c(n) de afstand zijn die de kameel aflegt, en stel dat 
c(b(n)) < n. Als b(n) oneven is, is c(b(n)) een geheel veelvoud van 2/6/m^2 en 
dus c(a(n-1/4/m^2)) = c(b(n)) <= n-2/6/m^2 < n-1/4/m^2. Tegenspraak met 
c(a(x)) >= x. Als b(n) even is, is c(b(n)) een geheel veelvoud van 1/6/m^2 en 
dus c(a(n-1/4/m^2)) = c(b(n)) <= n-1/6/m^2 < n-1/4/m^2+1/6/m^2. Tegenspraak 
met c(a(x)) >= x+1/6/m^2 als a(x)/2 geheel.
b(n) is correct vanaf n=2.

Met vriendelijke groeten,

Michiel